Ghan ka aaytan aur Prasthiy Kshetrafal: घन का आयतन और क्षेत्रफल का सूत्र

Ghan ka aaytan (घन का आयतन) का सूत्र को समझने के लिए, आइए पहले समीक्षा करें कि घन क्या है। घन एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें समान आकार के छह वर्गाकार फलक होते हैं। एक घन के सभी किनारे समान लंबाई के होते हैं, और फलकों के बीच के सभी कोण समकोण होते हैं। घन के सभी किनारों की कुल लंबाई उसके एक किनारे की लंबाई के 12 गुना के बराबर होती है, इसलिए यदि एक घन के एक किनारे की लंबाई दी गई है, तो घन की कुल परिधि की गणना इस लंबाई को 12 से गुणा करके की जा सकती है। आज हम इस लेख में घन का Prasthiy Kshetrafal के बारे में भी पढ़ेंगे। अब सूत्र पर चलते हैं:

Ghan Ka Aaytan – घन का आयतन

एक घन के आयतन का सूत्र है:  घन का आयतन = (एक किनारे की लंबाई)³

इसका अर्थ है कि घन का आयतन ज्ञात करने के लिए, हमें घन के एक किनारे की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि घन के एक किनारे की लंबाई ‘a’ है। Ghan ka aaytan ज्ञात करने के लिए, हमें इस लंबाई का घन करने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि हमें इसे स्वयं से तीन बार गुणा करने की आवश्यकता है:

घन का आयतन = a x a x a = a³
अर्थात, v = a³

तो, संक्षेप में, एक घन का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं। हम एक किनारे की लंबाई को माप कर या समस्या में दी गई लंबाई से इसे ज्ञात कर सकते हैं। एक बार जब हम एक किनारे की लंबाई जान लेते हैं, तो हम घन का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र में इसे स्थानापन्न कर सकते हैं।

Ghan Ka Kshetrafal – घन का क्षेत्रफल

एक घन का क्षेत्रफल घन द्वारा आच्छादित पृष्ठीय क्षेत्रफल की कुल मात्रा है। इसकी गणना घन के सभी छह फलकों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करके की जाती है।

एक घन का प्रत्येक फलक एक वर्ग होता है, इसलिए हम एक फलक की लंबाई को उसी से गुणा करके एक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, इस प्रकार:

एक फलक का क्षेत्रफल = एक भुजा की लंबाई x दूसरी भुजा की लंबाई
अर्थात, एक फलक का क्षेत्रफल = भुजा²

चूँकि एक घन के छह फलक होते हैं, हम एक फलक के क्षेत्रफल को 6 से गुणा करके घन का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, इस प्रकार:

घन का कुल क्षेत्रफल = 6 x एक फलक का क्षेत्रफल
अर्थात, घन का कुल क्षेत्रफल = 6 x भुजा²

मान लेते हैं भुजा ‘a’ है। तो, घन का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:

घन का क्षेत्रफल = 6 x a² = 6a²

संक्षेप में, एक Ghan Ka Kshetrafal घन के सभी छह चेहरों के क्षेत्रों का योग है, और इसकी गणना सूत्र 6 x भुजा² का उपयोग करके की जा सकती है, जहां “भुजा” घन के एक तरफ की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है।

Ghan Ka Prasthiy Kshetrafal – घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र

घन के क्षेत्रफल और पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र एक ही होते हैं।

अर्थात, Prasthiy Kshetrafal है:

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 x a² = 6a²

यहां ‘ a ‘ घन के किनारे या भुजा की लंबाई है।

Lateral Surface area – घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 x (एक किनारे की लंबाई)² अर्थात, 4a²

किसी घन का पार्श्व सतही क्षेत्रफल घन के चारों पक्षों के क्षेत्रफलों का योग होता है, अर्थात् घन के ऊपर, नीचे, बाएँ और दाएँ फलक, लेकिन इसमें आगे और पीछे के फलकों के क्षेत्रफल शामिल नहीं होते हैं। किसी घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें घन के एक किनारे की लंबाई जानने की आवश्यकता है। एक बार जब हम एक किनारे की लंबाई जान लेते हैं, तो हम घन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसे सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

Volume Formula with Given Diagonal – विकर्ण दिए जाने पर घन का आयतन

विकर्ण दिए जाने पर एक घन का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय से शुरू कर सकते हैं, जो हमें बताता है कि एक समकोण त्रिभुज के पैर जिसकी लंबाई a और b है, और कर्ण की लंबाई c है।

अर्थात, c² = a² + b²

घन के मामले में, विकर्ण की लंबाई एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसके पैर घन के दो आसन्न किनारों की लंबाई हैं।

मान लेते हैं, घन के विकर्ण की लम्बाई ‘d’ है। फिर, पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा, हमारे पास हैं :

d²= a² + a²+ a²
d² = 3a²

जहाँ ‘a’ घन के एक किनारे की लंबाई है।

‘a’ के लिए समाधान, हम प्राप्त करते हैं:

a = d / √3

हम घन के आयतन के सूत्र में a के इस मान को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जो है:

V = a³

और हमें मिलते हैं:

V = (d/ √3)³
V = d³ / (3√3)

इस व्यंजक को सरल बनाते हुए, हम अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके प्राप्त कर सकते हैं:

V = √3d³ / (3 x 3)
V = √3d³/9

इसलिए, विकर्ण दिए जाने पर घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है:

V = √3d³/9

यह सूत्र हमें बताता है कि हम विकर्ण की लंबाई के घन को 3 के वर्गमूल से गुणा करके और फिर 9 से भाग देकर घन का आयतन ज्ञात कर सकते हैं।

घन पर आधारित प्रश्न या उदाहरण :

1) 15 सेमी भुजा वाले घन का आयतन क्या है?

घन की भुजा = a = 15cm
घन का आयतन V = a3
V = 153cm³
V= 3375cm³

2) घन का कुलपृष्ठ क्षेत्रफल 2904 cm² है। घन का आयतन क्या है?

माना कि घन की भुजा a है।

घन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 6a²

⇒ 6a² = 2904

⇒ a² = 2904/6 = 484

⇒ a = 22 cm

इस घन का आयतन: a³ = 223 = 10648 cm³

3) एक घन का कुल Prasthiy Kshetrafal ज्ञात कीजिए, यदि इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 100 सेमी² है।
समाधान:एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 100 cm²
एक घन सूत्र का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a²इस तरह, 4a² = 100100/4 = a²a² = 25a = 5cm² – जो एक घन की प्रत्येक भुजा की लंबाई है।

घन सूत्र का कुल सतह क्षेत्र = 6a² = 6 x 25 = 150cm²

∴ दिए गए घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 150cm² है।

4) 5 सेमी भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
समाधान:घन की भुजा: a = 5 cm
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²
= 6 × 5²
= 6 × 25
= 150 cm²
5) एक घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 1014 cm² है।

समाधान:
एक घन का दिया गया पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1014 cm²

माना ‘ a ‘ घन की भुजा है।
हम वह जानते हैं,

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

⇒ 6a² = 1014

⇒ a² = 1014/6

⇒ a² = 169

⇒ a = √169

⇒ a = 13

अत: घन की भुजा = 13 cm

6) उस घन का आयतन क्या है जिसका विकर्ण 4√3 cm मापता है?

विकर्ण = 4√3 cm

प्रयुक्त सूत्र:

घन की भुजा = (विकर्ण/√3)

घन का आयतन = (भुजा)³

गणना:

घन की भुजा = (विकर्ण/√3)

⇒ घन की भुजा = 4√3/√3

⇒ घन की भुजा = 4 cm

प्रश्न के अनुसार:

घन का आयतन = (भुजा)³

⇒ (4)³

⇒ 64

∴ घन का आयतन 64 cm³ है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों :

1) आयतन की इकाई क्या है?
उत्तर : आयतन को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाई उपयोग की जा रही माप की प्रणाली पर निर्भर करती है, लेकिन एसआई प्रणाली में, मात्रा की मानक इकाई घन मीटर (m³) है, जो लंबाई में एक मीटर की भुजा वाले घन के आयतन का प्रतिनिधित्व करती है।
2) घन का आयतन ग्राम में मापा जाता है?
उत्तर : नहीं, घन का आयतन ग्राम में नहीं मापा जाता है। आयतन के लिए माप की इकाई एक घन इकाई है जैसे घन मीटर, घन सेंटीमीटर या घन इंच।
3) घन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होता है?
उत्तर : एक घन के फलक चपटे और सीधे किनारे होते हैं, इसकी कोई घुमावदार सतह नहीं होती है। इसलिए, एक घन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल शून्य होता है।

निष्कर्ष

यदि आपको Ghan पर मेरा लेख  ” Ghan ka aaytan (घन का आयतन) और Prasthiy Kshetrafal (पृष्ठीय क्षेत्रफल) ” पढ़ने में मज़ा आया, तो मुझे अच्छा लगेगा कि आप इसे अन्य लोगों के साथ साझा करें, जिन्हें यह दिलचस्प लग सकता है। ज्ञान साझा करना दुनिया की सामूहिक समझ में योगदान करने का एक शक्तिशाली तरीका है, मेरे लेख को पढ़ने के लिए समय निकालने के लिए धन्यवाद, और मुझे आशा है कि इसने आपको गणित के चमत्कारों की खोज जारी रखने के लिए प्रेरित किया है!

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